複素数 α {\displaystyle \alpha } が下記の定理の 4 条件の中の 1 つ(したがって全部)を満たすとき、 α {\displaystyle \alpha } を代数的整数、あるいは単に整数という。
定理 複素数 α {\displaystyle \alpha } について次の 4 条件は同値である。
(1) α {\displaystyle \alpha } は
の形のある方程式の根である。
(2) α {\displaystyle \alpha } は代数的整数で、 α {\displaystyle \alpha } の Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に関する最小多項式 f ( X ; α / Q ) {\displaystyle f(X;\alpha /\mathbb {Q} )} は Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} に含まれる。
(3) Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上 α {\displaystyle \alpha } の生成する整域 Z [ α ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]} は Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 加群として有限生成である。
(4) α {\displaystyle \alpha } に対して C {\displaystyle \mathbb {C} } の有限生成な Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 部分加群 M ( ≠ { 0 } ) {\displaystyle M(\neq \{0\})} で α M ⊆ M {\displaystyle \alpha M\subseteq M} となるものが存在する。
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28420682be585a0ee588c7eb13e7971e01cb1283)
