「代数的整数」の版間の差分

2020年5月5日 (火) 22:25時点における版

複素数 $\alpha$ が下記の定理の 4 条件の中の 1 つ(したがって全部)を満たすとき、 $\alpha$ を代数的整数、あるいは単に整数という。

定理複素数 $\alpha$ について次の 4 条件は同値である。

(1) $\alpha$ は

X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,\ \ a_{i}\in \mathbb {Z} \ (i=1,\cdots ,n)

の形のある方程式の根である。

(2) $\alpha$ は代数的整数で、 $\alpha$ の $\mathbb {Q}$ に関する最小多項式 $f(X;\alpha /\mathbb {Q} )$ は $\mathbb {Z} [X]$ に含まれる。

(3) $\mathbb {Z}$ 上 $\alpha$ の生成する整域 $\mathbb {Z} [\alpha ]$ は $\mathbb {Z}$ 加群として有限生成である。

(4) $\alpha$ に対して $\mathbb {C}$ の有限生成な $\mathbb {Z}$ 部分加群 $M(\neq \{0\})$ で $\alpha M\subseteq M$ となるものが存在する。

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-'''定理''' 複素数 &alpha; について次の 4 条件は同値である。
+複素数 <math>\alpha</math> が下記の定理の 4 条件の中の 1 つ(したがって全部)を満たすとき、<math>\alpha</math> を[[代数的整数]]、あるいは単に[[整数]]という。
+'''定理''' 複素数 <math>\alpha</math> について次の 4 条件は同値である。
+(1) <math>\alpha</math> は
+:<math> X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n = 0,\ \ a_i \in \mathbb{Z}\ (i=1,\cdots ,n)</math>
+の形のある方程式の根である。
+(2) <math>\alpha</math> は代数的整数で、<math>\alpha</math> の <math>\mathbb{Q}</math> に関する最小多項式 <math>
+ f(X;\alpha/\mathbb{Q})</math> は <math>\mathbb{Z}[X]</math> に含まれる。
+(3) <math>\mathbb{Z}</math> 上 <math>\alpha</math> の生成する整域 <math>\mathbb{Z}[\alpha]</math> は <math>\mathbb{Z}</math> 加群として有限生成である。
+(4) <math>\alpha</math> に対して <math>\mathbb{C}</math> の有限生成な <math>\mathbb{Z}</math> 部分加群 <math>M (\neq \{0\})</math> で <math>\alpha M \subseteq M</math> となるものが存在する。