代数的整数

複素数 $\alpha$ が下記の定理の 4 条件の中の 1 つ(したがって全部)を満たすとき、$\alpha$ を代数的整数、あるいは単に整数という。<ref>テンプレート:Citation book </ref>

定理 複素数 $\alpha$ について次の 4 条件は同値である。

(1) $\alpha$ は

$X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,\ \ a_{i}\in \mathbb {Z} \ (i=1,\cdots ,n)$

の形のある方程式の根である。

(2) $\alpha$ は代数的整数で、$\alpha$ の $\mathbb {Q}$ に関する最小多項式 $f(X;\alpha /\mathbb {Q} )$ は $\mathbb {Z} [X]$ に含まれる。

(3) $\mathbb {Z}$ 上 $\alpha$ の生成する整域 $\mathbb {Z} [\alpha ]$ は $\mathbb {Z}$ 加群として有限生成である。

(4) $\alpha$ に対して $\mathbb {C}$ の有限生成な $\mathbb {Z}$ 部分加群 $M(\neq \{0\})$ で $\alpha M\subseteq M$ となるものが存在する。